Некоторые алгебраические свойства полиномов Эрмита–Паде

Пусть $[f_0,\dots,f_m]$ – набор формальных рядов по неотрицательным степеням переменной $1/z$ и с условием $f_j(\infty)\ne 0$. Предполагается, что этот набор находится в “общем положении”. Для заданного набора рядов и $(m+1)$-мерных мультииндексов $\mathbf n_k\in\mathbb N^{m+1}$, $k=0,\dots,m$, приводятся конструкции полиномов Эрмита–Паде 1-го и 2-го типов степеней $\le n$ и $\le mn$ соответственно обладающие следующим свойством. Пусть $M_1(z)$ и $M_2(z)$ – две $(m+1)\times(m+1)$ полиномиальные матрицы, $M_1(z),M_2(z)\in\operatorname{GL}(m+1,\mathbb C[z])$, порожденные полиномами Эрмита–Паде 1-го и 2-го типов, соответствующих мультиндексам $\mathbf n_k\in\mathbb N^{m+1}$, $k=0,\dots,m$. Тогда выполняется тождество
$$ M_1(z)M_2^{\mathrm T}(z)\equiv I, \qquad M_1(0)=M_2(0)=I, $$
где $I$ – единичная $(m+1)\times(m+1)$-матрица.
Результат мотивирован рядом новых приложений полиномов Эрмита–Паде, возникших недавно в связи с исследованиями свойств монодромии фуксовых систем дифференциальных уравнений.
Библиография: 12 названий.