Большие промежутки между суммами двух полноквадратных чисел

Пусть $M(x)$ – длина наибольшего подотрезка в $[1,x]$, не содержащего сумм двух полноквадратных чисел. Мы доказываем нижнюю оценку
$$ M(x)\gg \frac{\ln x}{(\ln\ln x)^2} $$
для всех $x\geqslant 3$. Доказательство опирается на свойства случайных подмножеств множества простых чисел.
Библиография: 8 названий.