Об одном кардинальном групповом инварианте, связанном с разбиениями абелевых групп

Для каждой абелевой группы $G$ вводится кардинальный инвариант $\chi(G)$ и исследуются его свойства. В частном случае группы $G=\mathbb Z^n$ кардинал $\chi(\mathbb Z^n)$ равен минимальной мощности существенного подмножества в $\mathbb Z^n$, т.е. такого подмножества $A\subset\mathbb Z^n$, что для любой раскраски группы $\mathbb Z^n$ в $n$ цветов существует бесконечное одноцветное подмножество, симметричное относительно некоторой точки $\alpha$ из $A$. Доказывается оценка $n(n+1)/2\le\chi(\mathbb Z^n)<2^n$ для всех $n$, а также равенство $\chi(\mathbb Z^n)=n(n+1)/2$ для $n\le3$. Полностью описана структура существенных подмножеств мощности $\chi(\mathbb Z^n)$ в $\mathbb Z^n$ для $n\le3$.
Библиография: 5 названий.