Неравенство Сеге для производных сопряженного тригонометрического полинома в $L_0$

Пусть ${\mathscr T}_n$ есть множество тригонометрических полиномов порядка $n$ и
$$ \begin{aligned} \|f\|_{L_{\infty}}=\|f\|_C=\max\bigr\{|f(t)|:t\in[0,2\pi]\bigr\}, \\ \|f\|_{L_p}=\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(t)|^pdt\right)^{1/p},\qquad 0<p<\infty, \\ \|f\|_{L_0}=\lim_{p\rightarrow+0}\|f\|_{L_p}=\exp\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln|f(t)|^pdt\right). \end{aligned} $$
При $p=\infty$ и $1\le p<\infty$ Г. Сеге и А. Зигмунд соответственно доказали (см., например, А. Зигмунд. Тригонометрические ряды. Т. II. М.: Мир, 1965, гл. X, §3), что для $r\ge1$ в ${\mathscr T}_n$ имеет место точное неравенство $\|\widetilde{f}_n^{(r)}\|_{L_p}\le n^r\|f_n\|_{L_p}$, в котором $\widetilde{f}_n$ есть полином сопряженный для $f_n\in{\mathscr T}_n$. Обозначим через $\varkappa_p(n,r)$ точную константу в неравенстве $\|\widetilde{f}_n^{(r)}\|_{L_p}\le\varkappa_p(n,r)\|f_n\|_{L_p}, f_n\in{\mathscr T}_n$ при $0\le p\le\infty$. В работе доказано, что 1) если $r\ge n\ln 2n$, то $\varkappa_p(n,r)=n^r$ также и для $0\le p<1$, 2) $\varkappa_p(n,r)\le\varkappa_0(n,r), 0\le p\le\infty$, 3) при $p=0$ экстремальным является полином $h_n(t)=C^n_{2n}+2\sum^n_{k=1}C^{n+k}_{2n}\cos kt= 2^n(1+\cos t)^n$ и, как следствие, $\varkappa_0(n,r)=\|\widetilde{h}_n^{(r)}\|_{L_0}$, 4) если $r\ge0$ фиксировано и $n\rightarrow\infty$, то $\varkappa_0 (n,r)=4^{\varepsilon_n},\varepsilon_n=n+o(n)$.
Библиография: 11 названий.