Оценка сумм мультипликативных функций со сдвинутыми аргументами

Пусть $f(n)$, $g(n)$ – мультипликативные функции по модулю равные единице, $a\not=0 $ – целое число. В работе приведен ряд оценок модуля суммы
$$ S(f,g,x)=\sum_{n>|a|}^x f(n)g(n+a). $$
Например, доказано, что, если $f(p)$ на простых числах $\sqrt x\le p\le x$ принимает $k$ различных значений, $g^r(n)\equiv1$ и ряды для $s=1,2,\dots,r-1$
$$ \sum_p(1-\operatorname{Re}g^s(p)p^{-it}\chi_\delta(p))^{1/p} $$
расходятся при любом $t$ и $\chi_\delta$, $\chi_\delta$ – характер Дирихле, то
$$ |S(f,g,x)|\le x\left(1-\biggl(\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{k}{r}}\biggr)^2 \frac{4}{r^2}+\varepsilon\right) $$
при $x\ge x_0(\varepsilon)$.
Библиография: 9 названий.