Один критерий существования оценки производной рациональной функции

Пусть $K$ – произвольный компакт на открытой комплексной плоскости. В заметке получен критерий существования оценки производной типа Маркова–Бернштейна для рациональных функций $R(z)$ в фиксированной точке $z_0\in K$. Доказано, что при фиксированном натуральном $s$ оценка вида $|R^{(s)}(z_0)|\le C(K,z_0,s)n\|R\|_{C(K)}$, где $R$ – произвольная рациональная функция, не имеющая полюсов на $K$, $n$ – ее степень, $C$ – конечная величина, зависящая только от указанных аргументов, имеет место тогда и только тогда, когда конечна величина $\omega(K,z_0,s)=\sup\{\operatorname{dist}(z,K)/|z-z_0|^{s+1}\}$, где $\sup$ берется по всем точкам $z$ из дополнения к $K$. При этом величина $C$ не превосходит $\mathrm{const}\cdot s!\,\omega(K,z_0,s)$.
Библиография: 13 названий.