Аннотация:
Для функций из пространства Лебега $L(\mathbb R_+)$ вводятся
модифицированный сильный двоичный интеграл $J_\alpha$ и
производная $D^{(\alpha)}$ дробного порядка $\alpha>0$.
Устанавливаются критерии их существования для данной
функции $f\in L(\mathbb R_+)$. Найдено счетное множество
собственных функций операторов $D^{(\alpha)}$ и $J_\alpha$, $\alpha>0$. Доказаны равенства
$D^{(\alpha)}(J_\alpha(f))=f$ и
$J_\alpha(D^{(\alpha)}(f))=f$ при условии
$\int_{\mathbb R_+}f(x)\,dx=0$. Установлена неограниченность
линейного оператора $J_\alpha\colon L_{J_\alpha}\to L(\mathbb R_+)$,
где $L_{J_\alpha}$ – его естественная область
определения. Аналогичное утверждение доказано для
оператора $D^{(\alpha)}\colon L_{D^{(\alpha)}}\to L(\mathbb R_+)$.
Кроме того, для функции $f\in L(\mathbb R_+)$ и данной точки
$x\in\mathbb R_+$ введены модифицированная двоичная производная
$d^{(\alpha)}(f)(x)$ и модифицированный двоичный интеграл
$j_\alpha(f)(x)$. Доказаны равенства
$d^{(\alpha)}(J_\alpha(f))(x)=f(x)$ и
$j_\alpha(D^{(\alpha)}(f))=f(x)$ в каждой двоичной точке
Лебега функции $f$.
Библиография: 31 название.