О росте числа образов точки при итерациях многозначного отображения

Исследуется число различных образов $N_X(k)$ точки $x$ при действии $k$-й итерации многозначного отображения $\Phi$ как функция $k$. Для симплектических интегрируемых по Лиувиллю отображений с интегральными уровнями, состоящими из конечного числа компонент, доказано, что $N_X(k)$ имеет полиномиальный рост вместо ожидаемого экспоненциального. Среди алгебраических двузначных отображений $\mathbf CP^1$ в $\mathbf CP^1$ выделены отображения с определенным полиномиальным ростом $N(k)$. Все они оказываются интегрируемыми с помощью эллиптических и элементарных функций. Обсуждаются аналогичные вопросы для $m$-значных отображений $\mathbf CP^1$ в $\mathbf CP^1$, а также возможные связи с теорией квадратичных алгебр Склянина.
Библиогр. 13 назв.