Спектры $p$-элементов в нормализаторе экстраспециальной линейной группы

Пусть $p$ – простое число и $F$ – алгебраически замкнутое поле, причем $\operatorname{char}F\ne p$. Для каждого натурального $k$ существует единственная срочностью до сопряженности неприводимая подгруппа $A\subset GL(p^k,F)$, содержащая группу $S$ скалярных матриц, и такая, что факторгруппа $A/S$ – элементарная абелева. Пусть $N$ – ее нормализатор в $GL(p^k,F)$. Группа $N$ играет важную роль в теории линейных групп. Мы описываем спектры $p$-элементов группы $N$.
{\scТеорема}. {\it Пусть $x\in N$, $x^p\in S$, $l>1$ и $p^l$ – наименьшее натуральное число с этим свойством. Тогда $\operatorname{Spec}x$ состоит из всех корней степени $p^{l-1}$ из всех элементов $\operatorname{Spec}x^{p^{l-1}}$, за исключением случая, когда $p=3$, $A:C_A(x^{3^{l-2}})=27$ и $x^{3^{l-1}}\in A$. В исключительном случае $\operatorname{Spec}x$ состоит из всех корней степени $p^{l-2}$ из элементов $\{\gamma,\gamma^{\varepsilon},\gamma^\eta, \gamma^{\eta,\varepsilon},\gamma^{\eta,\varepsilon^2}\}$, где $\gamma,\eta\in F$, $\eta^3=\varepsilon\ne 1$, $\varepsilon^3=1$}.
Случай $l=1$ рассмотрен ранее в (3алесский А. Е., Becцi, АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1986. № 6. С. 20–24), что дает описание $\operatorname{Spec}x^{p^{l-1}}$ в теореме.
Библиогр. 10 назв.