Матем. заметки,
1991, том 49, выпуск 6, страницы 63–71
(Mi mzm2982)
|
1-когомологии специальной линейной группы с коэффициентами
в модуле срезанных полиномов
А. С. Клещев Институт математики АН БССР
Аннотация:
Пусть
$p$ простое число,
$k=GF(p^s)$,
$K$ – поле, содержащее
$k$,
$V=k^n$ – естественный
$GL_n(p^s)$-модуль,
$\widetilde V=K\underset{k}{\otimes}V$, $S_n(\widetilde V)=K[e_1\dots,e_n]/\langle e^p_1,\dots,e^p_n\rangle$ – кольцо срезанных полиномов, превращенное обычным способом в
$GL_n(p^s)$-модуль.
Для
$j=0,1,\dots,n$ (
$p-1$) через
$S_n^j(\widetilde V)$ будем обозначать
$j$-ю однородную компоненту
$S_n(\widetilde V)$. Известно, что все
$S_n^j(\widetilde V)$ – (абсолютно) неприводимые
$GL_n(p^s)$-модули со старшими весами
$(p-1-l)\omega_m+l\omega_{m+1}$, где
$j=m(p-1)+l$,
$0\leqslant l<p-1$,
$\{\omega_m,\ 1\leqslant m\leqslant n-1\}$ – фундаментальные веса (
$\omega_0$ и
$\omega_n$ интерпретируются как нулевые веса). Доказано, что группы 1-когомологий
$H^1(SL_n(p^s)$,
$S^j_n(\widetilde V))$,
$H^1(GL_n(p^s)$,
$S^j_n(\widetilde V))$ тривиальны при
$n\geqslant3$,
$p>2$, за исключением случая
$p=3$,
$j=n$, когда
$H^1(SL_3(3^s)$,
$S^3_3(\widetilde V))\simeq K$,
$\dim_KH^1(SL_n(3^s)$,
$S^n_n(\widetilde V))\leqslant1$.
Библиогр. 10 назв.
УДК:
512.644.4
Поступило: 11.03.1989
© , 2024