Об одной зависимости между суммами Фурье и Фейера

Пусть $S_n (f;x)$ и $\sigma_n (f;x)$ частные суммы соответственно Фурье и Фейера для суммируемой $2\pi$-периодической функции $f(x)$. Доказано, что
\begin{equation} \frac1{n+1}\sum^n_{m=0}|S_m(f;x)-\sigma_m(f;x)|^q \leqslant C_q\Gamma^q_n(f;x,\overline p), \end{equation}
где $C_q(q>0)$ – константа, зависящая только от $q$, $\overline p=\overline q/(q-1)$, $\overline q=\max\{q,3\}$, a
$$ \Gamma_n(f;x,\overline p)= \biggl\{\sum_{|\gamma|<2\pi_n}\biggl(\frac{n}{|\nu|+1} \int^{\nu n^{-1}}_{(\nu-1)^{n-1}}|f(x+t)-f(x)|\,dt \biggr)^p\biggr\}^{1/\overline p}. $$
Неравенство (1) несколько усилено вслучае $q=2$.
Известно [3, с. 615], что $\Gamma_n(f;x,\overline p)$ при $\overline p>1$, $n\to \infty$ почти всюду сходится к нулю для любой суммируемой функции $f(x)$.
Аналогичные результаты установлены и для тригонометрически сопряженной функции $f(x)$ к $f(x)$.
Библиогр. 5 назв.