Отделимость и расстояние
А. Г. Бакан Институт математики АН УССР
Аннотация:
Доказано, что выпуклые множества
$A$ и
$B$ в ЛВП
$X$ собственно отделимы
в том и только том случае, когда существуют такие
$x,y\in\operatorname{Aff}(A\cup B)$ и такая выпуклая окрестность нуля
$U$ в
$X$, что
$$
\lim^{\varepsilon^{-1}}_{\varepsilon\downarrow0}[\rho_U(A^{\varepsilon}_x,B)
+\rho_U(A,B^{\varepsilon}_y)]>0,
$$
где $\operatorname{Aff}(A):\,=a+\operatorname{lin}(A-a)$,
$a\in A$;
$\operatorname{lin}A$ – наименьшее замкнутое подпространство, содержащее множество
$A\subseteq X$; $A^{\varepsilon}_x:\,=\{tx+(1-t)a\mid a\in A,\ t\in[\varepsilon,1]\}$,
$\varepsilon\in[0,1]$, и $\rho_U(A,B):\inf\{\varepsilon>0\mid(A+\varepsilon U)\cap B\ne\oslash\}$. Указанный предел вычислен в явном виде и полностью описано множество тех точек
$(x,y)$, для которых он положителен.
Библиогр. 6 назв.
УДК:
517.98 Поступило: 14.02.1990