О наилучших равномерных приближениях сплайнами при наличии ограничений на их производные

Пусть $W_\infty^r(r\in\mathbf N)$ – класс $2\pi$-периодических функций $f$ таких, что $f^{(r-1)}$ локально абсолютно непрерывна и $\|f^{(r)}\|_{\infty}\leqslant1$; $S_{2n,\,r}(n\in\mathbf N)$ – множество $2\pi$-периодических полиномиальных сплайнов порядка $r$, дефекта $1$, с узлами $k\pi/n$, $k\in\mathbf Z$; $E(\mathfrak M,\mathfrak N)_{\infty}$ – наилучшее равномерное приближение множества $\mathfrak M$ множеством $\mathfrak N$. Доказано, что если $r\geqslant2$ и $\{\varepsilon_n\}_{n=1}^{\infty}$ – невозрастающая последовательность положительных чисел, то при $n\to\infty$
$$ E\bigl(W^r_{\infty},S_{2n,\,r}\cap(1+\varepsilon_n)W^r_{\infty}\bigr)_{\infty} \asymp \begin{cases} n^{-r}\varepsilon_n^{1-r/2},\quad&\varepsilon_nn^2\to\infty\\ n^{-2},\quad&\varepsilon_nn^2=O(1). \end{cases} $$
Из этого утверждения вытекает справедливость одной гипотезы С. Б. Стечкина.
Библиогр. 6 назв.