Один пример в связи с гипотезой о якобиане

Строится гладкая (некомпактная) комплексно-аналитическая поверхность $\widetilde{X}$, на ней гладкая кривая $\widetilde{L}$, изоморфная $\mathbf{CP}^1$, с индексом самопересечения $+1$, и две функции $f_1$, $f_2$, мероморфные на $\widetilde{X}$ и голоморфные на $\widetilde{X}-\widetilde{L}$, такие, что отображение $f\colon X\to\mathbf{C}^2$, задаваемое этими функциями, локально взаимно однозначно, но не инъективно.
Пара $(\widetilde{U},\widetilde{L})$, где $\widetilde{U}$ – трубчатая окрестность кривой $\widetilde{L}$, $C^\infty$-диффеоморфна паре $(U,L)$, где $U$ – трубчатая окрестность прямой $L$ на $\mathbf{CP}^2$. Если бы эти пары были биголоморфно эквивалентны, то отображение $f$ продолжалось бы до отображения, дающего контрпример к известной гипотезе о якобиане.
Показано, что гладкая компактная рациональная кривая с положительным индексом самопересечения на гладкой аналитической поверхности (в частности, кривая $\widetilde{L}$ в построенном примере) обладает сколь угодно малой строго псевдовогнутой трубчатой окрестностью. Такой окрестностью является объединение кривых, соответствующих точкам достаточно малого шара в многообразии рациональных кривых на данной поверхности.
Библиогр. 7 назв.