О глобальных соотношениях

Пусть $\mathbf{K}$ – конечное расширение поля $\mathbf{Q}$, $P(y_1,\dots,y_m)$ – многочлен с коэффициентами из поля $\mathbf{K}$, $f_i(z)$, $i=1,\dots,m$, – степенные ряды с коэффициентами из $\mathbf{K}$, $\xi\in\mathbf{K}$. Соотношение $P(f_1(\xi),\dots,f_m(\xi))=0$ называют глобальным, если оно выполняется во всех полях $\mathbf{K}_v$, где сходятся ряды $f_i(\xi)$.
Доказаны теоремы о том, что при определенных условиях на коэффициенты рядов $\sum_{\nu=0}^\infty a_{i,\nu}\nu!z^\nu$, составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений над $\mathbf{C}(z)$ и линейно (алгебраически) независимых над $\mathbf{C}(z)$ для всех $\xi\in\mathbf{K}$, отличных от $0$ и полюсов системы, глобальные линейные (алгебраические) соотношения не существуют. Подобного рода результаты были ранее получены Э. Бомбиери для $G$-функций в точках $\xi\in\mathbf{K}$, подчиненных определенным условиям.
Библиогр. 2 назв.