Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности

Многочленам $P_n(z)=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka_kz^k$ и $\Lambda_n(z)=\sum\limits_{k=0}^nC_n^k\lambda_kz^k$ порядка $n$ с комплексными коэффициентами сопоставляется их композиция Сегё, т.е. многочлен $\Lambda_nP_n(z)=\sum\limits_{k=0}^nC_n^k\lambda_ka_kz^k$. Доказано, что если функция $\varphi$ на полуоси $(0,\infty)$ не убывает и функция $u\varphi'(u)$ также не убывает, то для любых двух многочленов $\Lambda_n$ и $P_n$ имеет место неравенство
$$ \int_0^{2\pi}\varphi\bigl(|\Lambda_nP_n(e^{it})|\bigr)\,dt\leqslant \int_0^{2\pi}\varphi\bigl(\|\Lambda_n\|_0|P_n(e^{it})|\bigr)\,dt, $$
в котором
$$ \|\Lambda_n\|_0=\exp\biggl( \frac1{2\pi i}\int_0^{2\pi}\ln|\Lambda_n(e^{it})|\,dt\biggr). $$
Исследован вопрос о точности полученного неравенства по $P_n$ при фиксированном $\Lambda_n$.
Библиогр. 18 назв.