О приближении периодических функций средними Фейера–Зигмунда в разных метриках

Доказана следующая
Теорема. {\it Пусть $1\leqslant p<q\leqslant2$, $k\in\mathbf{N}$, $r\in\mathbf{Z}_{+}$, $\sigma=r+1/p-1/q$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty n^{q\sigma-1}\varepsilon_n^q<\infty;$ тогда
\begin{align*} \sup\bigl\{\|f^{(r)}&-z_{n,k}^{(f^{(r)})}\|_q;f\in E_p(\varepsilon)\bigr\} \underset{(k,q)}\asymp\sup\biggl\{\omega_k\biggl(f^{(r)}; \frac{\pi}{n+1}\biggr)_q;f\in E_p(\varepsilon)\biggr\} \\ &\underset{(k,r,p,q)}\asymp\biggl(\sum_{\nu=n+2}^\infty\nu^{q\sigma-1}\varepsilon_\nu^q\biggr)^{1/q}+(n+1)^{-k}\biggl(\sum_{\nu=1}^{n+1}\nu^{q(k+\sigma)-1}\varepsilon_\nu^q\biggr)^{1/q},\quad n\in\mathbf{Z}_+, \end{align*}
где $\omega_k(g;\delta)_q$ и $z_{n,k}(g;x)$ – соответственно модуль гладкости $k$-гo порядка и $k$-е нормальные средние Зигмунда {(}при $k=1$ – средние Фейера{)} ряда Фурье функции $g\in L_q$, $\varepsilon=\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty$ {(}$0<\varepsilon_n\downarrow0$ при $n\uparrow\infty${)}, $E_p(\varepsilon)=\{f\in L_p;\ E_n(f)_p\leqslant\varepsilon_{n+1},\ n\in\mathbf{Z}_+\}$.}
Библиогр. 14 назв.