Обобщение теоремы Пэли–Винера на весовые пространства

Пусть $h(x)$ – выпуклая функция на конечном интервале $I$. Функция $\widetilde h(x)$ – сопряженная по Юнгу к функции $h(x)$ и функция $\rho(x)$ определена из равенства
$$ \int_{x-\rho(x)}^{x-\rho(x)}|\widetilde h'(x)-\widetilde h'(y)|\,dy=1. $$
Пусть $P(\mathbf C)$ – пространство целых функций экспоненциального типа,
$$ L^2(I,h)=\biggl\{f(t)\in L_{\mathrm{loc}}(I):\|f\|^2_{L^1(I,h)} \overset{\text{опр}}=\int_I|f(t)|^2e^{-2h(t)}\,dt<\infty\biggr\}. $$
Посредством обобщенного преобразования Лапласа
$$ \widehat f(z)=\int_I\overline{f(t)}\exp(zt-2h(t))\,dt $$
установлена двойственность между пространством $L^2(I,h)$ и пространством
$$ \biggl\{ F(z)\in P(\mathbf C):\|F\|\overset{\text{опр}}= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(x+iy)|^2\exp(-2\widehat h(x))\rho(x)\,d\widetilde h'(x)\,dy<\infty\biggr\}. $$

Библиогр. 4 назв.