О наилучших рациональных приближениях функций комплексного переменного, суммируемых по площади

Пусть $E$ измеримо по Лебегу и ограничено, $E\subset\mathbf{C}$, $\operatorname{mes}_2E>0$. $L^p(E)(r\geqslant1)$ – обычное банахово пространство комплекснозначных функций. $RL^p(E)$ – замыкание в $L^p(E)$ множества всех рациональных функций с полюсами вне $\bar E$.
ТЕОРЕМА 1.Пусть $n$ – натуральное, $1\leqslant p<2$, функция $f\in L^p(E)$ не является рациональной функцией степени $\leqslant n-1$, и если $p=1$, то $f$ еще и такова, что каждая рациональная функция степени $\leqslant n-1$ почти всюду на $E$ отличается от $f$. Тогда каждая рациональная функция степени $\leqslant n$ наилучшего приближения $f$ по норме $L^p(e)$ имеет точно степень $n$.
ТЕОРЕМА 2. Если $p\geqslant2$ и функция $f\in RL^p(E)$ не является рациональной функцией степени $\leqslant n-1$, то рациональная функция наилучшего приближения степени $\leqslant n$ для $f$ имеет точно степень $n$.
Библиогр. 6 назв.