О наилучшем приближении дифференциальных операторов с частными производными

Изучается наилучшее приближение
$$ E(N)=\inf_{\|T\|_{L_p\to L_p}\leqslant N}\sup_{f\in\bigcap^n_{j=1}W^P_pj,\,\sum^n_{j=1}\|P_j(D)f\|_p\leqslant1}\|Q(D)f-Tf\|_p, $$
где $1<p<\infty$, $W^P_pj=\{f\in L_p(\mathbf{R}^m)\colon P_j(D)f\in L_p(\mathbf{R}^m)\}$; $Q(D)$, $P_j(D)$ $(j=1,2,\dots,n)$ – дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.
При условии, что многочлен $P(\xi)=(|P_1|^2+\dots+|P_n|^2)(\xi)$ оценивается снизу через сумму модулей своих одночленов и отделен от нуля при $|\xi|>p>0$, установлено, что условие $\bar{A}_Q\subset\bar{A}_{\mathscr{P}}$ где $\bar{A}_Q$ и $\bar{A}_{\mathscr{P}}$ суть характеристические многогранники многочлена $Q$ и набора многочленов $\mathscr{P}=(P_1,\dots,P_n)$ соответственно, равносильно тому, что $E(N)\leqslant CN^{-1/\theta}$, $N\geqslant N_0$, где $\theta=\max\bigl\{\sum^m_{j=1}\alpha_j/\sigma_j(\alpha):\alpha\in A_Q\bigr\}$, $\sigma_j(\alpha)=\max\{t\geqslant0:(\alpha_1,\dots,\alpha_j+t,\dots,\alpha_m)\in\bar{A}_{\mathscr{P}}\}$ , а также равносильно непрерывному вложению $\bigcap^n_{j=1}W_p^Pj\subset W_p^Q$.
Библиогр. 8 назв.