Предельная теорема для сумм экспонент

Пусть $\xi_i,n,i=1,\dots,N,$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, удовлетворяющая условиям: 1) $E\{\xi_i,n\}=0$; 2) $E\{\exp(t\xi_i,n)\}<\infty$, $t>0$; 3) для любого интервала $\Delta=(a,b)$, $0\leqslant a<b$, равномерно по $a$, $b$ изменяющимися на любом компакте, существует $\lim_{n\to\infty}n^{-1}\ln[F(b)-F(a)]=-\varphi(a)$, где $F(x)$ – функция распределения случайных величин $\xi_i,n,\varphi(x)$ – неотрицательная выпуклая функция и $\min_{x\geqslant0}\{\varphi(x)-x\}<0$. Доказывается, что если $N=\exp(qn)$, то $\displaystyle P-\lim_{n\to\infty}n^{-1}\ln\biggl(\sum^N_{i=1}\exp\{n\xi_i,n\}\biggr)=-\min_{\varphi(x)\leqslant q}\{\varphi(x)-x\}$. В работе даны также естественно возникающие примеры случайных величин, удовлетворяющие условиям доказанной теоремы, и отмечена связь рассмотренной задачи с проблематикой теории фазовых переходов и распространения волн в неупорядоченных средах.
Библиогр. 10 назв.