Размерность Хаусдорфа множества Лебега для классов $W^p_\alpha$ на метрических пространствах

Пусть $(X,\mu,d)$ – пространство однородного типа, где $d$ – метрика, $\mu$ – мера, связанные условием удвоения с показателем $\gamma>0$, $W^p_\alpha(X)$ – обобщенные классы Соболева, $\operatorname{Cap}_{\alpha,p}$ – соответствующая емкость ($p>1$, $0<\alpha\le 1$) и $\dim_H$ – размерность Хаусдорфа. Мы покажем связь $\operatorname{Cap}_{\alpha,p}$-емкости с размерностью Хаусдорфа, а также докажем, что для любой функции $u\in W^p_\alpha(X)$, $p>1$, $0<\alpha<\gamma/p$, существует такое множество $E\subset X$, что $\dim_H(E)\le\gamma-\alpha p$ и для любого $x\in X\setminus E$ существует предел
$$ \lim_{r\to+0}\frac{1}{\mu(B(x,r))}\int_{B(x,r)}u\,d\mu=u^*(x), $$
более того,
$$ \lim_{r\to+0}\frac{1}{\mu(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|u-u^*(x)|^q\,d\mu=0,\qquad \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{\gamma}. $$

Библиография: 18 названий.