Новое доказательство неравенства Семмеса для производной рациональной функции

В открытом круге $|z|<1$ комплексной плоскости рассматриваются следующие пространства функций: $\mathscr B$ – пространство Блоха; $H^\alpha _p$, $\alpha\ge0$, $0<p\le\infty $, – пространство Харди–Соболева; $B^\alpha _p$, $\alpha \ge0$, $0<p\le\infty $, – пространство Харди–Бесова. Показано, что если все полюсы рациональной функции $R$ степени $n$, $n=1,2,3,\dots$, лежат в области $|z|>1$, то $\|R\|_{H^\alpha _{1/\alpha }}\le cn^\alpha \|R\|_{\mathscr B}$, $\|R\|_{B^\alpha _{1/\alpha }}\le cn^\alpha \|R\|_{\mathscr B}$, где $\alpha >0$, а $c>0$ зависит лишь от $\alpha $. Второе из этих неравенств в случае полуплоскости было получено Семмесом в 1984 году. Доказательство Семмеса основано на ганкелевых операторах, а наше – на специальном интегральном представлении рациональной функции.
Библиография: 7 названий.