Принцип выбора для поточечно ограниченных последовательностей функций

Для числа $\varepsilon>0$ и вещественной функции $f$ на отрезке $[a,b]$ обозначим через $N(\varepsilon,f,[a,b])$ супремум множества тех номеров $n$, для которых в $[a,b]$ существует набор неналегающих отрезков $[a_i,b_i]$, $i=1,\dots,n$, таких, что $|f(a_i)-f(b_i)|>\varepsilon$ для всех $i=1,\dots,n$ ($\sup\varnothing=0$). Доказана следующая теорема: \emph{если $\{f_j\}$ – поточечно ограниченная последовательность вещественных функций на отрезке $[a,b]$ такая, что $n(\varepsilon)\equiv\limsup_{j\to\infty}N(\varepsilon,f_j,[a,b])<\infty$ для любого $\varepsilon>0$, то $\{f_j\}$ содержит подпоследовательность, которая всюду на $[a,b]$ сходится к некоторой функции $f$ такой, что $N(\varepsilon,f,[a,b])\le n(\varepsilon)$ при любом $\varepsilon>0$}. Показано, что основное условие в этой теореме, связанное с верхним пределом, необходимо для равномерно сходящейся последовательности $\{f_j\}$ и “почти” необходимо для всюду сходящейся последовательности измеримых функций и что многие поточечные принципы выбора, обобщающие классическую теорему Хелли, вытекают из этой теоремы, а также приводятся примеры, иллюстрирующие ее точность.
Библиография: 16 названий.