Линии уровня функций, выпуклых в направлении оси

Доказано, что если голоморфная функция $f$, $f'(0)>0$, однолистно отображает единичный круг на выпуклую в направлении мнимой оси область, то для всех $r\in(0,\sqrt2-1]$ ее линии уровня $L(f,r)$ ограничивают выпуклые в направлении мнимой оси области. Для каждого $r\in(\sqrt2-1,1)$ найдена голоморфная функция $f$, $f'(0)>0$, отображающая единичный круг на выпуклую в направлении мнимой оси область, для которой ее линия уровня $L(f,r)$ ограничивает область, не обладающую свойством выпуклости в направлении мнимой оси. Доказанная теорема решает одну из проблем Браннана. Библиогр. 2 назв.