О классах вычетов по модулю простого числа в поле алгебраических чисел

Пусть $K$ – конечное алгебраическое расширение поля рациональных чисел $\mathbb Q$ степени $n$, $p$ – рациональное простое число. Для произвольного класса вычетов $A$ по модулю $p$ в кольце целых чисел поля $K$ через $N_p(A)$ обозначим минимальную норму элементов из $A$ и рассмотрим среднее значение
$$ M(K,p)=-\frac1{\mathrm{Nm}(-p)}\sum_{A\,(\operatorname{mod}p)}N_p(A). $$
Имеет место следующее утверждение, усиливающее результаты из (РЖ матем., 1981, реф. 1А175).
Теорема. Если поле $K$ имеет хотя бы одну основную единицу, то для всех рацибнальных простых чисел $p$ справедлива оценка $M(K,p)=O(\mathrm{Nm}(p)\ln^{-1/3}p)$, для почти всех в смысле асимптотической плотности простых чисел $p$ справедлива оценка $M(K,p)=O((\mathrm{Nm}(p))^{1-1/6n}\ln^{1/3}p)$. Библиогр. 4 назв.