О некоторых теоремах вложения пространств периодических функций бесконечного порядка

Пусть $\mathbf T$ – окружность, $1\le p\le\infty$, $1\le r<\infty$, $a_n\ge0$, $b_n\ge0$, $n=0,1,\dots$, $\lim_{n\to\infty}a_n^{1/n}=0$. Положим
$$ W_a^\infty(\mathbf T)=\biggl\{f(x)\in C^\infty(\mathbf T): |\mspace{-1mu}|\mspace{-1mu}|f|\mspace{-1mu}|\mspace{-1mu}|_a^r =\sum_{n=0}^\infty a_n\|D_u^n\|_p^r<\infty\biggr\}. $$
Пусть существует такое число $\lambda>0$, что
$$ \sup_{n\ge0}\biggl(\sum_{k=n}^\infty b_k\lambda^k\biggr) \biggl(\sum_{k=n}^\infty a_k\lambda^k\biggr)^{-1}<\infty, $$
тогда имеет место вложение $W_a^\infty(\mathbf T)\subset W_b^\infty(\mathbf T)$. Если при этом
$$ \lim_{n\to\infty}\biggl(\sum_{k=n}^\infty b_k\lambda^k\biggr) \biggl(\sum_{k=n}^\infty a_k\lambda^k\biggr)^{-1}=0, $$
то вложение компактно. Библиогр. 5 назв.