Явная конструкция элементов кольца $S(n,r)$ инвариантов
$n$-арных форм степени $r$
Ф. Ф. Эфендиев Институт математики и механики НАН Азербайджана
Аннотация:
Доказано, что однородный многочлен степени
$k$ является инвариантом неприводимого
представления группы
$SL(n,C)$ тогда и только тогда, когда его
можно представить в виде линейной комбинации отображений
$$
[s_{11},\dots,s_{1n}]\circ\ldots\circ[s_{k1},\dots,s_{kn}]\circ L^k\colon ST^r\to C,
$$
где
$ST^r$ – пространство симметричных тензоров типа
$(r,0)$.
Отображение
$[s_1,\dots,s_n]\colon T^p\to T^{p-n}$ задается при
$1\leqslant s_1<\ldots<s_n\leqslant p$
формулой
$$
([s_1,\dots,s_n](A))^{i_1,\dots,s_n}p
=\sum_{\sigma}(-1)^{\sigma}A^{i_1,\dots,\sigma(1),\dots,\sigma(n),\dots,i_p},
$$
где суммирование производится по всем перестановкам
$\sigma$ набора
$(1,\dots,n)$;
в левой части пропущены индексы
$i_{s_1},\dots,i_{s_n}$ , в правой – на
$s_1$-й,
$\dots$,
$s_n$-й
позициях индексы равны соответственно
$\sigma(1),\dots,\sigma(n)$.
Отображение
$L^k\colon T^r\to T^{k\cdot r}$ задается формулой
$$
(r^k,(A))^{i_{11},\dots,i_{1r},i_{21},\dots,i_{kr}}=A^{i_{11},\dots,i_{1r}}\cdot\ldots\cdot
A^{i_{k1},\dots,i_{kr}}.
$$
УДК:
512 Поступило: 18.02.1988