О построении $(k+1)$ орбит группы перестановок по ее $k$-орбитам

Пусть $G=(G,X)$ – группа перестановок на конечном множестве $X$. Естественное действие $G$ на множестве $X^{(h)}$ всех $k$-элементных подмножеств $X$ индуцирует группу перестановок $G^{(h)}=(G,X^{(h)})$. Ее орбиты называются симметризованными $k$-орбитами группы $G$.
В работе [РЖМат 1982 12А177] Симоне поставил вопрос о возможности построения $(k+1)$-орбит группы $G$ по ее $k$-орбитам. Данная работа посвящена ответу на вопрос Симонса. Опираясь на введенное в [РЖМат 1988 4А151] понятие восстановимости орбиты, каждой группе перестановок $G$ ставится в соответствие целое число $\rho(G)$, называемое ее индексом восстановимости. Конструктивно показывается, что при $k\geqslant\rho(G)$ все $(k+1)$-орбиты группы $G$ могут быть построены но ее $k$-орбитам. Доказательство основано на вычислениях в алгебре орбит. Библиогр. 7 назв.