Эта публикация цитируется в
4 статьях
Об оценке снизу константы в неравенстве Джексона
в разных $L_p$-нормах
В. И. Иванов Тульский политехнический институт
Аннотация:
Пусть
$G$ – отделимая метризуемая бесконечная компактная абелева группа с нормированной инвариантной мерой Хаара
$\mu$;
$E_n(f,G)_p$ – величина наилучшего приближения функции
$f\in L_p(G)$ по системе характеров группы
$G$ порядка
$n$;
$V\subset G$ – окрестность нуля,
$\omega(V,f,G)_p=\sup\{\|f(x+t)-f(x)\|_p|t\in V\}$ – модуль непрерывности
$f$ в
$L_p(G)$;
$1\leqslant p\leqslant q<\infty$; $k_{pq}(V,n,G)=\sup_{f\in L_p(G)}E_n(f,G)_p/\omega(V,f,G)_q$ – точная константа в неравенстве Джексона.
Доказано равенство
$$
k_{pq}(G,n,G)=\sup_{f\in L_p(G)}\frac{E_1(f,G)_p}{\bigl(\int_G\int_G|f(x)-f(y)|^q\,d\mu\,d\mu\bigr)^{1/q}}.
$$
Доказательство основано на следующей лемме, имеющей и самостоятельный интерес
ЛЕММА. Для любой группы $G$,
любого $\varepsilon>0$ и любого набора положительных чисел $\{\alpha_k\}^m_{k=1},\alpha_1+\dots+\alpha_m=1$,
существуют непересекающиеся множества $e_1,\ldots,e_m\in G$,
для которых $\mu(e_k)=\alpha_k$ и для любого $t\in G$
\begin{gather*}
\mu((e_k+t)\cap e_l)\leqslant\alpha_k\alpha_l+\varepsilon \quad (k\ne l),
\\
\mu((e_k+t)\cap e_l)\leqslant\alpha_k\alpha_l+\varepsilon \quad (k=l).
\end{gather*}
Библиогр. 8 назв
УДК:
517.5
Поступило: 13.04.1992