Критерий эквивалентности сметем Хаара и Франклина в симметричных пространствах

В работе доказано, что если системы Хаара и Франклина эквивалентны в сепарабельном симметричном пространстве $E$, то выполнено условие
\begin{equation} 0<\alpha_E\leqslant\beta_E<1, \end{equation}
где $\alpha_E$ и $\beta_E$ – индексы Бонда пространства $E$.
Ранее было известно, что из выполнения условия (1) следует эквивалентность систем Хаара и Франклина в пространстве $E$. Тем самым установлено, что условие (1) необходимо и достаточно для эквивалентности систем Хаара и Франклина в пространстве $E$.
При доказательстве автор проводит интересные конструкции по полиномам Хаара и Франклина и применяет тонкие оценки для функций Франклина. Библиогр. 10 назв.