Изотермические гиперповерхности и трехмерные гиперциклиды Дюпена–Маннгейма

Доказано, что гиперповерхность $V_n$ в евклидовом пространстве $E_{n+1}$ имеет изотермическую сеть линий кривизны тогда и только тогда, когда она при $n\geqslant4$ либо 1) сферический веер, т.е. образована $(n-1)$-сферами, касающимися заданной $(n-1)$-плоскости в заданной ее точке, либо 2) цилиндр с $(n-1)$-мерными плоскими образующими. При $n=3$ прибавляются новые возможности: либо 3) гиперциклида Дюпена–Маннгейма, т.е. гиперповерхность, все линии кривизны которой окружности, плоскости которых составляют три пучка, либо 4) гиперконус Клиффорда, т.е. гиперповерхность, образованная прямыми, составляющими с фиксированной $(n-1)$-плоскостью постоянный угол и проходящими через ее фиксированную точку. Гиперциклида Дюпена–Маннгейма дает пример, следующий после конуса Л. Л. Вербицкого (см. РЖ Мат, 1964, 2А529), конформно-плоской гиперповерхности $V_3$ в $E_4$ с тремя различными главными кривизнами $k_1$, $k_2$ и $k_3$, отличными от нуля (в примере Вербицкого $k_3\equiv0$). Библиогр. 15 назв.