Одно дополнение к теореме В. Рихтера

Рассматривается последовательность $X_1, X_2,\dots$ независимых случайных величин, имеющих одинаковое решетчатое распределение. Пусть $\mathsf{E}X_1=m$, $\mathsf{D}X_1=\sigma^2$ и пусть $X_1$ принимает значения вида $k(k=0,\pm1,\pm2,\dots)$, причем 1 – максимальный шаг распределения. Показано, что условие Крамера является необходимым для выполнения соотношения
$$ \sigma\sqrt{n}\mathsf{P}\biggl(\sum^n_{i=1}X_i=k\biggr)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\biggl(-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{\sqrt{n}}\lambda\biggl(\dfrac{x}{\sqrt{n}}\biggr)\biggr)\cdot \biggl(1+O\biggl(\dfrac{|x|}{\sqrt{n}}\biggr)\biggr), n\to\infty, $$
в области $|x|>1$, $|x|\leqslant\dfrac{\sqrt{n}}{\psi(n)}$ для любой функции $\psi(n)\to\infty(n\to\infty)$. Здесь $x=(k-nm)/\sigma\sqrt{n}$, a $\lambda(t)=\sum^{\infty}_{k=0}c_kt^k$ – некоторый ряд, сходящийся при всех достаточно малых значениях $|t|$. Библиогр. 2 назв.