Одна характеристика случайных отображений

Рассматривается множество $\sum_n(R_1,R)$ (с равномерным распределением вероятностей) таких однозначных отображений $n$-элементного множества в себя, что кратности корневых вершин деревьев отображения принимают значения только из множества $R_1$, а кратности всех остальных вершин – только из $R$. Показано, что характер предельного (при $n\to\infty$) распределения числа циклических точек случайного отображения из $\sum_n(R_1,R)$ определяется значением функции
$$ f(\lambda,R_1,R)=\Bigl(\lambda\sum\nolimits_{'r\in R_1}\lambda^{r}/r!\Bigr)/\Bigl(\sum\nolimits_{'r\in R}\lambda^{r}/r!\Bigr) $$
в точке $\varkappa$, являющейся единственным положительным корнем уравнения $\sum_{'r\in R}(r-1)\lambda^{r}/r!=0$. Если $f(\varkappa,R_1,R)<1$, то циклических точек конечное число, если $f(\varkappa,R_1,R)=1$, то их порядка $\sqrt n$, и, если $f(\varkappa,R_1,R)>1$, то порядка $cn$ ($c$ – фиксированное число из $(0,1)$). Библиогр. 3 назв.