Произведения степеней и коммутаторов в свободных про-$p$-группах

(A) Если элементы $u_1,\dots,u_n$ свободной про-$p$-группы связаны соотношением
$$ [u_1,u_2][u_3,u_4]\dots[u_{2k-1},u_{2k}]u^{\alpha_{1}}_{2k+1}\dots u^{\alpha_{n-2k}}_n=1, $$
где $0\leqslant2k\leqslant n$, $0\ne\alpha_i\in p\mathbf Z_p$, то ранг подгруппы, порожденной $u_1,\dots,u_n$, не превосходит $n/2$.
(B) Произвольная нециклическая про-$p$-группа $G$ с множеством образующих $X$ и одним определяющим соотношением обладает копредставлением $G=\langle X\|s=1\rangle$, где элемент $s$ не является $p$-й степенью.
Утверждение (В) обобщает результат РЖМат, 1969. 5А316. Приведены следствия (А) для абстрактных свободных групп. Библиогр. 8 назв.