О некоторых свойствах свободных топологических групп

Подмножество $X$ в топологической группе $G$ называется тонким в $G$, если для каждой окрестности $V$ единицы в группе $G$ существует окрестность единицы $W$ такая, что $x\cdot W\cdot x^{-1}\subseteq V$ для каждого $x\in X$.
Доказываются следующие результаты.
1. Пространство $X$ является тонким в свободной группе $F_M(X)$ тогда и только тогда, когда существует бесконечный кардинал $\tau$ такой, что $X$ псевдо-$\tau$-компактно и является $P_\tau$ пространством (т.е. множество $\cap\gamma$ открыто в $X$ для любой системы $\gamma$ открытых в $X$ множеств, $|\gamma|<\tau$).
2. Свободная группа $F_M(X)$ имеет инвариантный базис тогда и только тогда, когда существует кардинал $\tau>\aleph_0$ такой, что $X$ псевдо-$\tau$-компактно и является $P_\tau$-пространством. Библ. 6 назв.