О знакопостоянных полиномах, наименее уклоняющихся от нуля в пространствах $L_p$

Пусть $n=0,1,2,\dots$, $1\le q<\infty$; $P_{n,q,\varOmega}$ (соответственно $P^\pm_{n,q,\varOmega}$) – алгебраический полином, наименее уклоняющийся от нуля в пространстве $L_{q\varOmega}$ функций, суммируемых на $[-1,1]$ в $q$-й степени с положительным весом $\varOmega$, среди всех (соответственно среди неотрицательных ($+$) и неположительных ($-$)) полиномов степени со старшим коэффициентом, равным единице. Положим $\varOmega_1(x)=\varOmega(x)$, $\varOmega_2(x)=(1-x^2)^q\varOmega(x)$, $\varOmega_3(1+x)^q\varOmega(x)$, $\varOmega_4(x)=(1-x)^q\varOmega(x)$. Доказано: $P^+_{2n,q,\varOmega}(x)=P^2_{n, 2q,\varOmega_1}(x)$, $P^+_{2n+2,q,\varOmega}(x)=(1-x^2)^q\varOmega(x)$, $P^+_{2n+1,q,\varOmega}(x)=(x+1)P^2_{n,2q,\varOmega_3}(x)$, $P^-_{2n+1,q,\varOmega}(x)=(x-1)P^2_{n,2q,\varOmega_4}(x)$. Как следствие, получаются явные выражения для $P^\pm_{n,1,\varOmega}$ с любым $\varOmega$, что обобщает результат Боянича и Денвора (случай $\varOmega\equiv1$). Библ. – 6 назв.