Об одном условии нормируемости пространств Фреше

Пусть $X$ — пространство Фреше и $p(\,\cdot\,)$ — непрерывная норма на $X$, удовлетворяющая следующему условию $(J)$: каждый линейный функционал $f\in X'$, ограниченный на множестве $U_p=\{x\in X\colon p(x)\le1\}$, достигает на нем своей верхней грани. Тогда $p(\,\cdot\,)$ порождает исходную топологию на $X$, которое, таким образом, оказывается изоморфным рефлексивному пространству Банаха.
Пусть $X$ — пространство Фреше; $V$ — замкнутое, ограниченное, абсолютно выпуклое множество, линейная оболочка которого плотна в $X$. Пусть $V$ удовлетворяет следующему условию $(J^*)$: какова бы ни была точка $x$ его алгебраической границы $\partial V$, найдется ненулевой линейный функционал $f\in X'$, верхняя грань которого на множестве $V$ достигается в точке $x$. Тогда $V$ — окрестность нуля, определяющая исходную топологию на $X$, которое, таким образом, оказывается изоморфным пространству Банаха. Библиогр. 8 назв.