Конечные $p$-группы, допускающие автоморфизм порядка $p$ с малым числом неподвижных точек

Доказано, что если конечная $p$-группа допускает автоморфизм простого порядка $p$, имеющий ровно $p^m$ неподвижных точек, то она обладает подгруппой, индекс которой ограничен функцией от $p$ и $m$, а ступень нильпотентности — функцией только от $p$. Ранее Альпериным (РЖ Мат., 1962, 10А148) в этой ситуации была получена оценка ступени разрешимости группы в терминах $p$ и $m$. Следствие: локально конечная $p$-группа, содержащая элемент простого порядка с конечным централизатором, почти нильпотентна. Построены примеры, показывающие, что даже для метабелевых групп функцию, ограничивающую ступень нильпотентности подгруппы, нельзя заменить на константу. Это дает отрицательный ответ на вопрос Хартли из «Коуровской тетради». Библиогр. 14 назв.