О разрешимости некоторых нелинейных эллиптических задач

Рассматриваются нелинейные краевые задачи вида
\begin{equation} \Delta u=f(x, u)\text{ в }\Omega, \qquad u=\varphi(x)\text{ на }\partial\Omega, \tag{1} \end{equation}
где $\Omega$ — ограниченная область из $\mathbf R^n$ с гладкой границей $\partial\Omega$. Пусть существуют два промежутка $[\alpha,\beta]$ и $[\alpha_1,\beta_1]$, $\beta\le\varphi(x)\le\alpha_1$ для всех $x\in\partial\Omega$ , в которых выполнены неравенства
\begin{gather*} \max_{x\in\overline\Omega}f(x,t)\le2n(\beta-\alpha)/R^2\text{ для всех }t\in[\alpha,\beta], \\ \min_{x\in\overline\Omega}f(x,t)\ge-2n(\beta_1-\alpha_1)/R^2\text{ для всех }t\in[\alpha_1,\beta_1]. \end{gather*}
Тогда задача (1) имеет по крайней мере одно решение. Здесь $R$ — радиус круга, содержащего область $\Omega$. Библиогр. 6 назв.