Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством аппроксимации?

В работе исследуются следующиедвойственнные вопросы: 1) Предположим, что банахово пространство $X$ обладает свойством аппроксимации Гротендика. Известно, что в этом случае $X$ не обязано удовлетворять условию ограниченной аппроксимации. Но, быть может, всегда тождественное отображение $\operatorname{id}_X$ аппроксимируется в топологии компактной сходимости слабо компактными операторами с равномерно ограниченными нормами? 2) Известно, что существует неядерный оператор $T$ на банаховом пространстве $X$, порождающий линейный непрерывный функционал на инъективном тензорном произведении $X^*\mathbin{\widehat{\widehat{\otimes}}} X$ (эквивалентно, $T^*$ – ядерный). Можно ли выбрать этот оператор таким образом, чтобы он порождал линейный непрерывный функционал на пространстве всех слабо компактных операторов в $X$?
Основные результаты статьи – отрицательный ответ на первый вопрос и положительный – на второй. Библ. 7 назв.