Убывание длины лакун в спектре полиномиальных пучков
В. И. Фейгин
Аннотация:
В статье рассматриваются формально самосопряженные пучки
дифференциальных операторов на прямой
$$
P(x,D,h)=\sum_{\substack{\gamma\leqslant m, 0\leqslant j\leqslant M\\0<|h|<1}}p_{\gamma j}(x)h^{f(\gamma)+j}D^\gamma.
$$
где
$p_{\gamma j}$ –
$(l\times l)$-матрицы с ограниченными производными коэффициентов,
$h$ вещественно, а
$f(\gamma)$ – выпуклая функция, принимающая
целые значения в целых точках. Предполагается, что матричный пучок
$\sum_{\gamma\in[\gamma_1,\gamma_2]}p_{\gamma_0}(x)\omega^\gamma$ имеет простое собственное значение
$|\omega(x)|\leqslant c(x\in\mathbf R^1)$ (здесь
$[\gamma_1,\gamma_2]$ – некоторый максимальный отрезок, на
котором функция
$f(\gamma)$ линейна и строго возрастает). Доказывается,
что для любого
$N$ непрерывный спектр оператора
$P(x,D,h)$ отстоит
от нуля не более, чем на
$C_Nh^N$. Ранее автором (см. РЖ Мат., 1977,
6Б688; РЖ Мат. 1979, 12Б826) и Истэмом (см. РЖ Мат., 1977, 10Б797)
убывание длины лакун было доказано для линейных пучков скалярных
операторов и систем первого порядка. Библ. 4 назв.
УДК:
517.4
Поступило: 18.07.1980