О сходимости почти всюду спектральных разложений функций из $L_1^\alpha$

Рассматривается вопрос о сходимости почти всюду спектральных разложений, связанных с произвольным эллиптическим псевдодифференциальным оператором в $\mathbf R^2$ с постоянным символом. Доказано, что если $\alpha>1$ и функция $f$ принадлежит пространству Лиувилля $L_1^\alpha(\mathbf R^2)$, что спектральное разложение функции сходится почти всюду в $\mathbf R^2$. В случае $\alpha>1$ построены эллиптический псевдодифференциальный оператор и функция $f\in L_1^\alpha$, $\operatorname{supp}f\Subset\mathbf R^2$ такие, что спектральное разложение $f$ расходится на некотором множестве положительной меры. При $\alpha>1$ доказана сходимость почти всюду спектральных разложений функций $f\in L_1^\alpha(\mathbf R^2)$, $\operatorname{supp}f\subset\Omega$, $\Omega\subset\mathbf R^2$, для произвольного полуограниченного самосопряженного в $L_2(\Omega)$ расширения эллиптического дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Библ. 8 назв.