О наилучшем приближении и суммах Фурье–Якоби

Пусть $C[-1,1]$ – пространство непрерывных на $[-1,1]$ функций $f(x)$ с нормой $\|f\|=\max_{-1\leqslant x\leqslant1}|f(x)|$, $E_n(f)$ – наилучшее приближение функции $f$ алгебраическими многочленами порядка $n$, $S_n^{(\alpha,\beta)}(f,x)$ – частная сумма порядка $n$ ряда Фурье по многочленам Якоби, $R_n^{(\alpha,\beta)}(f)=R_n^{(\alpha,\beta)}(f,x)=f(x)-S_n^{(\alpha,\beta)}(f,x)$, $\varepsilon=\{\varepsilon_\nu\}_0^\infty$, $\varepsilon_\nu\downarrow0$, $C(\varepsilon)=\{f\in C[-1,1]/E_n(f)\leqslant\varepsilon_n,n=0,1,\dots\}$.
$$ \mathscr E_n(\varepsilon)=\sup\{\|R_n^{(\alpha,\beta)}(f)\|/f\in C(\varepsilon)\}. $$
Доказывается, что
$$ \mathscr E_n(\varepsilon)\sim n^{s+1/2}\varepsilon_n\quad (s=\max\{\alpha,\beta\}>-1/2). $$

Показано также, что существуют функции $f\in C[-1,1]$ со сколь угодно “быстро” убывающими $E_n(f)>0$, для которых тем не менее $\|R_n^{(\alpha,\alpha)}(f)\|\sim n^{\alpha+1/2}E_n(f)$ для всех нечетных $n$, где $\alpha>-1/2$. Библ. 16 назв.