Пространственные обобщения некоторых теорем о выпуклых фигурах

В заметке доказаны несколько теорем о выпуклых телах в $R^n$ с использованием топологических соображений.
Тело называется $\varepsilon$-асферическим, если оно содержит некоторый шар и содержится в гомотетичном ему шаре с коэффициентом $1+\varepsilon$ и тем же центром. Доказано: 1) через любую внутреннюю точку $n$-мерного выпуклого тела проходит $\bigl(\frac1{\cos2\pi/p(n)}-1\bigr)$-асферическое плоское сечение, где $p(n)$ — наибольшее простое число, меньшее $n$; 2) для любых $n$ независимых направлений внутри любого $n$-мерного строго выпуклого тела с гладкой границей найдется точка, в которой делятся пополам хорды тела, параллельные этим направлениям; 3) любой аффинный диаметр тела вышеуказанного класса пересекается с континуумом других аффинных диаметров. Библ. 18 назв.