Асимптотика волнового потенциала, сосредоточенного на прямой

Рассматривается интеграл
$$ F=\int^\infty_{-\infty}\exp[i(R+kg(x))]R^{-1}\varphi\,dx,\qquad R^2=k^2x^2+a^2f(x), $$
где $f,g$ — вещественнозначные функции, $f,g\in C^\infty(R)$, $\varphi\in C^\infty_0(R)$, $k$ — большой параметр. Пусть $x_0=x_0(\varepsilon)$, $\varepsilon=k^{-1}$ — единственная точка минимума функции $R^2$,
\begin{gather*} a^2_1=k^2x^2_0+a^2f(x_0), \\ \gamma_1=g'(x_0)[1+\frac{1}{2}\varepsilon^2a^2f''(x_0)]^{-1/2}. \end{gather*}
Доказано, что при $k\to+\infty$ справедливо асимптотическое разложение
$$ F=\frac{\pi i}k\sum^\infty_{j=0}\bigl(\frac1{ik}\frac{\partial}{\partial\gamma_1}\bigr)^jH_0^{(1)}(a_1\sqrt{1-\gamma^2_1})L_j(\varphi), $$
равномерное по $(a,\gamma)\colon0<a\le a_0$, $|\gamma|<\gamma_0<1$, где $L_0(\varphi)=\varphi(0)[1+O(\varepsilon^2)]$ и $L_j(\varphi)$ — линейные дифференциальные операторы порядка $j$. Библ. 3 назв.