О сплайн-аппроксимации функций с выпуклой производной

Пусть $S_n^m(f,p,\Delta)$ – наименьшее уклонение вещественной функции $f$ от сплайнов $m$-го порядка с $n+1$ нефиксированными узлами минимального дефекта на отрезке $\Delta$ в метрике $L_p(0<p\leqslant\infty)$.
ТЕОРЕМА 1. {\it Если $f$ выпукла на отрезке $\Delta$ и удовлетворяет условию $\operatorname{Lip}\alpha$ с некоторым $\alpha>0$, то $S_n^1(f,\infty,\Delta)=O(n^{-2})$.}
ТЕОРЕМА 2. {\it Для любой выпуклой на отрезке $\Delta$ функции $f$ для любого $p$, $0<p<\infty$, имеем $S_n^1(f,p,\Delta)=O(n^{-2})$.}
ТЕОРЕМА 3. {\it Если при $r\geqslant1$ функция $f^{(r)}$ выпукла на отрезке $\Delta$, то $S_n^{r+1}(f,\infty,\Delta)=O(n^{-r-2})$.}
Библ. 4 назв.