О свойстве среднего для уравнения теплопроводности

Если $u(x,t)$ – решение уравнения теплопроводности, то для всех достаточно малых значений $r>0$ имеют место формулы среднего $u(x,t)=(M_ru)(x,t)$, где $M_ru$ – некоторое интегральное среднее от значений решения на множестве, зависящем от $r>0$, содержащем точку $(x,t)$ и стягивающемся к $(x,t)$ при $r\to0$. Эти формулы аналогичны сферическим и шаровым средним для гармонических функций. Формулы среднего используются при доказательстве неравенства типа неравенства Харнака для неотрицательных решений. Библ. 5 назв.