Метод Адамара и асимптотика спектральной функции дифференциального оператора второго порядка

Получено асимптотическое разложение для спектральной функции
$$ \theta(x,y,k)\overset{\text{def}}=\sum k_m<k\varphi_m(x)\varphi_m(y),\quad \operatorname{Im}\varphi_m=0,\quad x,y\in\Omega, $$
эллиптического самосопряженного неотрицательного оператора второго порядка в ограниченной области $\Omega\subset\mathbf R^n$, на границе $\partial\Omega$ которой выполнены однородные краевые условия $u|_{\partial\Omega}=0$ или $\partial u/\partial n+\sigma u|_{\partial\Omega}=0$. Здесь – $k^2_m$, $k_m\geqslant0$ – собственные числа, $\varphi_m(x)$ – нормированные собственные функции. Это асимптотическое разложение имеет место лишь для $y$, лежащих в замкнутой внутренней подобласти области $\Omega$, остаточный член мал в среднем (по Риссу). Библ. 9 назв.