Арифметический метод доказательства локальной теоремы для серий независимых целочисленных случайных векторов

Пусть $q\in\mathbf Z$, $q\geqslant2$, $0\leqslant r<q$, $r\in\mathbf Z$, а $z_r$ – смежный класс решетки $\mathbf Z\times\dots\times\mathbf Z$ по подрешетке $\Lambda\subset\underbrace{\mathbf Z\times\dots\times\mathbf Z}_{d\text{ раз}}$, для которой объем основного параллелепипеда равен $q>1$. Пусть $n$-я последовательность серий при $n\to\infty$ удовлетворяет условиям:
\begin{align*} \mathrm{I}.&\quad \det R^{(n)}=\Delta_n>0; \\ \mathrm{II}.&\quad \beta_{ni}=o(\sigma^3_{ni}\cdot\sqrt{n}\cdot\Delta^2_n),\quad i=1,2,\dots,d; \\ \mathrm{III}.&\quad \max_{0\leqslant r\leqslant q-1}\mathsf P\{\overline\xi^{(n)}_1\subset z_r\}\leqslant1-\alpha_n, \end{align*}
где $\beta_{ni}=\mathsf M|\xi^{(n)}_{1i}|^3$, $\sigma^2_{ni}=D\xi^{(n)}_{1i}$, $\alpha_n=K\max\limits_{1\leqslant i\leqslant d}\max\biggl\{\dfrac{\beta^2_{ni}}{\sigma^4_{ni}\cdot n\cdot\Delta^2_n},\dfrac{\sigma_{ni}}{\sqrt{n}}\biggr\}\ln n$, $R^{(n)}$ – матрица коэффициентов корреляции $\overline\xi_1^{(n)}$, $K$ – некоторая достаточно большая постоянная, зависящая лишь от размерности пространства. Доказывается, что для такой последовательности серий выполняется локальная предельная теорема. Библ. 5 назв.